Чтобы доказать вину первого врача Вам необходимо собрать абсолютно все документы, подтверждающие это: результаты анализов, записи в карточке, аптечные чеки и все, что касается процесса лечения. Кроме того, для сравнения - те же документы касательно второго врача (из платной поликлиники). Все это - к грамотному юристу, который составит иск в суд. Но для начала - устная консультация - реальная оценка Ваших шансов выиграть дело.
P.S. Обратите особое внимание на пост Rofe.
P.P.s. От врачей всегда ждут чуда, но когда оно произойдет, другие люди не только не благодарят, а вообще принимают за должное. И во всем, в чем только можно обвинить врача, его стремятся обвинить едва окажется подходящий случай. Да, плохие врачи действительно есть, но поверьте, такими они становятся со студенческой скамьи. Сложно однозначно сказать, чья в этом вина